TS_TRUE

Twierdzenie o próbkowaniu

Sygnał ciągły o maksymalnej częstotliwości fm może być jednoznacznie odtworzony z próbek, jeśli częstość próbkowania fs spełnia warunek: fs≥2fm.

Maksymalna częstotliwość (f_m)

Najwyższa składowa harmoniczna (sinusoida) istniejąca w widmie sygnału. Wyznacza ona pasmo sygnału. Powyżej $f_m$ energia sygnału musi wynosić 0, aby uniknąć aliasingu i móc wiernie odtworzyć sygnał z próbek

Częstotliwość Nyquista

to połowa tempa próbkowania, czyli fN=fs/2. Jest to graniczna częstotliwość sygnału, którą można poprawnie odtworzyć po dyskretyzacji.

STFT

Metoda analizy sygnałów niestacjonarnych. Polega na dzieleniu sygnału na krótkie segmenty za pomocą przesuwnego "okna" i obliczaniu transformaty Fouriera dla każdego z nich. Pozwala określić zmienność widma w czasie

Jak działa STFT (Czas vs Częstotliwość)?

Mechanizm: Okno wycina fragment sygnału, a FT wyznacza jego widmo. Oś czasu pokazuje, kiedy fragment wystąpił, a oś częstotliwości (pionowa) pokazuje rozkład energii w tym fragmencie. Spektrogram łączy obie osie w jedną mapę.

Ciągła transformacja Fouriera

Opis: Przekształca sygnał z dziedziny czasu t do dziedziny częstotliwości f. Pozwala wyznaczyć widmo sygnałów nieokresowych. Wzór: X(f) = \int x(t) e^{-j2\pi ft} dt. Wynikiem jest funkcja ciągła, zazwyczaj zespolona.

Właściwości CTFT

Cechy: Liniowość, przesunięcie w czasie (zmiana fazy w widmie), skalowanie (zwężenie w czasie = poszerzenie widma). Kluczowa cecha: splot w czasie to mnożenie w częstotliwości.

Definicja splotu ciągłego

Splot x(t) i h(t) to funkcja y(t) będąca całką iloczynu jednego sygnału i przesuniętego, odwróconego drugiego sygnału. Opisuje matematycznie proces filtracji.

Kluczowe właściwości splotu

Przemienność: x*h = h*x. 2. Rozdzielność: x*(h1+h2) = x*h1 + x*h2. 3. Łączność: (x*h1)*h2 = x*(h1*h2). 4. Element neutralny: splot sygnału z deltą Diraca delta(t) daje ten sam sygnał x(t).

Twierdzenie o splocie (podstawowe)

Splot w dziedzinie czasu odpowiada mnożeniu w dziedzinie częstotliwości. Dzięki temu skomplikowane całkowanie w czasie można zastąpić prostym mnożeniem widm.